Aritmética Baldor

Demostración general Sea ei número n que divide a los númems a , b y c (hipótesis). Vamos a probar que n divide ala s u m a + b + c. En efecto: sea q el cociente de dividir a entre n, q' el cociente de dividir b entre n y q " el cociente de dividir c entre n. Como el dividendo es el producto del divisor por el cociente, tendremos: a = nq b=nq' c = nq" Sumando miembro a miembro estas Igualdades, tenemos: a + b + c = nq+ nq' + nq" Sacando n factor común: a-\-b + c = n[ q+ q ' + q") lo que nos dice que a + ¿ + c contiene a n un número exacto de veces, q + q' + q" veces, o sea que n divide a la suma a + b + c, que era lo que queríamos demostrar II. TEOREMA Todo número que no divide a otros varios divide a su suma, si la suma de ios residuos que resultan de dividir éstos entre el número que no los divide, es divisible entre este número. Sea el número 7, que no divide a 15, ni a 37, ni a 46, pero el residuo de dividir 15 entre 7 es 1, el de dividir 37 entre 7 es 2 y el de dividir 46 entre 7 es 4, y la suma de estos residuos, 1 + 2 + 4 = 7, es divisible entre 7 (hipótesis). Vamos a probar que 7 divide a 15 + 37 + 46 = 98 (tesis). En efecto: 1 5 - 7 x 2 + 1 3 7 - 7 x 5 + 2 46 - 7 X 6 + 4 Sumando estas igualdades: 15 + 3 7 + 46 = 7 x 2 + 7 x 5 + 7 x 6 + 1 + 2 + 4 Sacando factor común 7: 15 + 37 + 46 - 7(2 + 5 + 6) + (1 + 2 + 4) osea 15 + 3 7+ 46 = 7 x 1 3 + 7 Ahora bien, en el segundo miembro, 7 divide a 7 x 13 porque es un múltiplo de 7 y divide a 7, porque todo número es divisible entre sí mismo: luego, 7 divide a su suma 15 + 37 + 46 o sea 98, porque según el teorema anterior todo número que divide a otros divide a su suma, que era lo que queríamos demostrar