Aritmética Baldor

Demostración general Sea el número n que no divide a los números a, b ni c. Sea r ei residuo de dividir a entre ir, r' ei residuo de dividirá entre n, r" ei residuo de dividir c entre n y la suma r + r' + r" divisible entre n (hipótesis). Vamos a probar que n divide aa + Ù+ c (tesis). En efecto: siendo q el cociente de dividirá entre/?, q' el de dividirá entre aj y q " el de dividir c entre/7, tendremos. a = nq + r b ^ n q ' + r ' c = n q "+ r" porque en toda división inexacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, más el residuo. Sumando miembro a miebro estas igualdades, tenemos: a + b + c - n q + nq' + nq "+ r + r' + r" Sacando n factor común: a + b + c = n{q + q' + q") + {r + r' + r") Ahora bien: n divide al sumando n{q + q' + q") porque este número es múltiplo de y divide al sumando (r + r ' + r") porque en la hipótesis hemos supuesto que la suma de los residuos era divisible entre /?; luego, si n divide a estos dos sumandos, tiene que dividir a su suma, que es a + Ô+ c, porque según el teorema anterior, todo número que divide avarios su­ mandos, divide a su suma. Luego, n divide a a + 6 + c, que era lo que queríamos demostrar. 240 III. TEOREMA Si un número divide a todos los sumandos de una suma, menos a uno de ellos, no divide a la suma, y el residuo que se obtiene al dividir la suma entre el número, es el mismo que se obtiene dividiendo el sumando nodivisible entre dicho número. Sea el número 5, que divide a 10 y a 15 pero no divide a 22, siendo 2 el residuo de dividir 22 entre 5 (hipótesis). Vamos a demostrar que 5 no divide a 10 + 1 5 + 22 = 47 y que el residuo de dividir 47 entre 5 es 2, igual al residuo de dividir 22 entre 5 (tesis). En efecto: 1 0 : ^ 5 x 2 1 5 - 5 x 3 22 = 5 x 4 + 2 Sumando miembro a miembro estas igualdades, según la ley de uniformidad, tenemos: 10 + 15 + 2 2 - 5 x 2 + 5 x 3 + 5 x 4 + 2 Sacando el factor común 5 en el segundo miembro, tenemos: 10 + 15 + 22 - 5 ( 2 + 3 + 4) + 2 osea 10 + 15 + 22 = 5 x 9 + 2