Aritmética Baldor

y esta última igualdad demuestra el teorema, pues ella nos dice que el número 5 está conte­ nido en la suma 9 veces, pero no exactamente, pues sobra el residuo 2, luego 5 no divide a 10 + 15 + 22. Además, ella nos dice que el residuo de dividir 10 + 1 5 + 22 entre 5 es 2, igual ai residuo de dividir 22 entre 5. Demostración general Sea el número n que divide a a y a 6, pero no divide a c; sea r ei residuo de dividir c entre n (hipótesis). Vamos a demostrar que n no divide aa + ó + c y que el residuo de dividir la suma a + b + c entre n es el mismo que el de dividir c entre n, o sea r (tesis). En efecto: llamemos q al cociente de dividir a entre n: q' al cociente de dividir b entre rr, q " al cociente de dividir c entre n siendo r el residuo de esta división. Tendremos: a = nq b = nq' c = n q" + r Sumando miembro a miembro estas igualdades, tenemos: a + b + c = nq+ nq' + n q" + r osea a + b + c = n{q + q' + q") + r y esta última igualdad demuestra el teorema, pues ella nos indica que el número n no está contenido en la suma a + b + c un número exacto de veces, pues está contenido en ella q + q' + q " veces pero sobra el residuo r; luego, n no divide a a + ¿ + c. Además, ella nos dice que ei residuo de dividir a + b + c entre n es r, que es el mismo residuo que resulta de dividir c entre n. Luego queda demostrado lo que nos proponíamos. IV. TEOREMA Todo número que divide a otro divide a sus múltiplos. Sea el número 5, que divide a 10 (hipótesis). Vamos a probar que 5 divide a cualquier múltiplo de 10: por ejemplo, a 10 x 4 = 40 (tesis). En efecto: 1 0 x 4 = 10 + 10 + 10 + 10 Ahora bien, 5 divide atodos los sumandos 10 del segundo miembro por hipótesis; luego, dividirá a su suma que es 10 x 4 o sea 40, porque hay un teorema (238) que dice que todo número que divide a varios sumandos divide a su suma; luego, 5 divide a 40, que era lo que queríamos demostrar Demostración general Sea el número n que divide al número a (hipótesis). Vamos a probar que n divide a cualquier múltiplo dea, por ejemplo aaií) (tesis). En efecto: ab —a + a + a + a + . . . b veces