Aritmética Baldor

Ahora bien; n divide a todos los sumandos a del segundo miembro por hipótesis; luego, divi­ dirá a su suma, que es ab, porque hay un teorema (238) que dice que todo número que divide a varios sumandos divide a su suma; luego, n divide a ab, que era lo que queríamos demostrar. 242 V. TEOREMA Todo número que divide a otros dos, divide a su diferencia. Sea el número 3. que divide a 18 y a 12 (hipótesis). Vamos a probar que 3 divide a la diferen­ cia 1 8 - 1 2 = 6 (tesis). En efecto: 1 8 - 3 x 6 12 = 3 x 4 Restando miembro a miembro estas igualdades, tenemos: 1 8 - 1 2 = 3 x 6 - 3 x 4 Sacando 3 factor común en e! segundo miembro: 1 8 - 1 2 = 3( 6- 4) osea 1 8 - 1 2 = 3 x 2 lo que nos dice que la diferencia 18 - 12, o sea 6, contiene a 3 dos veces, o sea, que 3 divide a 18 - 12, que era lo que queríamos demostrar Demostración general Sea el número n que divide a a y a siendo a > b (hipótesis). Vamos a probar que n divide a a - 6 (tesis). En efecto: sea q el cociente de dividir a entre nyq' e\ cociente de dividir b entre n. Como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tenemos: a = nq b = nq' Restando miembro a miembro estas igualdades, según la ley de uniformidad de la resta tenemos: a - b = n q - n q ' Sacando n factor común en el segundo miembro: a - b = n{ q- q' ) lo que nos dice que la diferencia a - b contiene a n un número exacto de veces q - q ' veces; luego, n divide a la diferencia a - b , que era lo que queríamos demostrar VI. TEOREMA Todo número que no divide a otros dos, divide a su diferencia si los residuos por defecto que resultan de dividir estos dos números entre el número que no los divide son iguales.