Aritmética Baldor

Sea el número 5, que no divide a 28 ni a 13, pero el residuo por defecto de dividir 28 entre 5 es 3 y el residuo de dividir 13 entre 5 también es 3 (hipótesis). Vamos a probar que 5 divide a ia diferencia 2 8 - 1 3 - 15 (tesis). En efecto: 2 8 - 5 x 5 + 3 1 3 - 5 x 2 + 3 Restando miembro a miembro estas igualdades, tenemos: 2 8 - 1 3 - 5 x 5 - 5 x 2 + 3 - 3 Sacando 5 factor común en el segundo miembro: 2 8 - 1 3 = 5 ( 5 - 2 ) + ( 3 - 3 ) y como 3 - 3 = O, nos queda: 2 8 - 1 3 - 5 ( 5 - 2 ) osea 2 8 - 1 3 = 5 x 3 lo que nos dice que la diferencia 28 - 13, o sea 15, contiene a 5 tres veces; luego, 5 divide a la diferencia 28 - 1 3 , que era lo que queríamos demostrar Demostración generai Sea el niímero n que no divide a a ni a r el residuo de dividirá entre n y b entre n (hipótesis). Vamos a probar que n divide a la diferencia a - b . En efecto: siendo q el cociente de dividir a entre n y q' e\ cociente de dividir b entre n, como r es el residuo en ambos casos, tenemos: Restando estas Igualdades: y c o m o r - r = 0, nos queda: Sacando n factor comiin: a = nq + r b =n q ' + r a - b = n q - n q ' + r - r a ~ b = nq~nq' a - b = n { q - q ' ) lo que nos dice que la diferencia a - b contiene a n un número exacto de veces, {q- q') veces o sea que n divide a la diferencia a - b , que era lo que queríamos demostrar VII. TEOREIVIA Todo número que divide a la suma de dos sumandos y a uno de éstos, tiene que dividir ai otro sumando.