Aritmética Baldor

TERCER LEMA Una cifra significativa, seguida de un número par de ceros, es igual a un múltiplo de 11 más la misma cifra. En efecto: 400 - 1 0 0 x 4 - (m. de 11 + 1 ) x 4 - { m . de 1 1 )x 4 + 1 x 4 = :m . de 11 + 4 60,000-10,000 X 6 - {m. de 11 + 1 ) x 6 - (m. de 11 ) x 6 + 1 x 6 - m. de 11 + 6 CUARTO LEMA Una cifra significativa, seguida de un número impar de ceros, es igual a un múltiplo de 11 menos la misma cifra. En efecto; 9 0 - 1 0 x 9 - (m. de 11 - 1 ) x 9 - { m . de 11) x 9 - 1 x 9 - m . d e 1 1 - 9 4,000 - 1,000 X 4 - {m. de 11 - 1 ) x 4 - (m. de 11) X 4 - 1 x 4 - m. de 11 - 4 TEOREMA Todo número entero es igual a un múltiplo de 11 más la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, contando de derecha a izquierda. Sea, por ejemplo, el número 13,947. Vamos a demostrar que 13,947- m . de 11 + [(7 + 9 + 1 ) - ( 4 + 3 )]- m .d e 11 + ( 1 7 - 7 ) - m . de 1 1 + 1 0 En efecto; descomponiendo este número en sus unidades de distinto orden, tendremos: 13,947 = 10,000 + 3,000 + 900 + 40 + 7 Aplicando los lemas anteriores, tendremos: 10,000 = m. de 11 +1 3 ,0 0 0 -m . d e 1 1 - 3 900 ^ m , de 11 + 9 40 = m. de 11 - 4 7 - 7 Sumando ordenadamente estas igualdades: 1 3 ,9 4 7 -m . de 11 + [(7 + 9 + 1 ) - ( 4 + 3 ) ]-m .d e 11 + (1 7 -1 0 ) osea 1 3 ,9 4 7 -m. de 11 + 1 0 que era lo que queríamos demostrar COROLARIO Un número es divisible entre 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolu­ tos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.