Aritmética Baldor

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES SOBRE NÚMEROS PRIMOS L TEOREMA Todo número compuesto tiene por lomenos un factor primo mayor que 1. Sea el número compuesto N. Vamos a demostrar que N tiene por lo menos un factor primo mayor que 1. En efecto: /V, por ser compuesto, tiene que poseer algún divisor distinto de sí mismo y de la unidad que llamaremos N', el cual tiene que ser primo o compuesto. Si N' es primo, ya queda demostrado el teorema, porque N tendrá un divisor primo mayor que ^ .S \N ' es compuesto tendrá que tener un divisor distinto de N' y de la unidad que llamaremos A/", el cual será divisor de N porque N es múltiplo de N' y todo número que divide a otro divide a sus múltiplos. N " ha de ser primo o compuesto. Si N " es primo queda demostrado elteorema: si es compuesto tiene que tener un divisor distinto de N " y de la unidad que llamaremos N '", el cual dividirá a N. Este N '" ha de ser primo o compuesto. Si es primo, queda demostrado el teorema y si es compuesto tendrá que tener otro divisor distinto de sí mismo y de la unidad, que llamaremos N "", el cual dividirá a /Vy así sucesivamente. Ahora bien, como estos diviso­ res se van haciendo cada vez menores, pero siempre mayores que la unidad, y no habiendo un número Ilimitado de divisores, llegaremos necesariamente a un número primo, que dividirá a N. Luego A/tiene por lo menos un divisor primo mayor que 1. El número compuesto 14 es divisible entre los números primos 2 y 7: el número compuesto 121 es divisible entre el número primo 11. II. TEOREMA La serie de los números primos es ilimitada, o sea, que por grande que sea un número primo, siempre hay otro número primo mayor. Sea el número primo P tan grande como se quiera. Vamos a demostrar que hay otro número primo mayor que P. Para hacer la demostración formemos el producto de todos los números primos menores que P, multipliquémoslo por P, añadamos la unidad y sea N el resultado: 1 x 2 x 3 x 5 x 7 x 1 1 x 1 3 x .............. x P + ] - N N evidentemente es mayor que P y tiene que ser primo o compuesto. Si /Ves primo queda demostrado el teorema, porque habrá un número primo mayor que P. Si N es compuesto