Aritmética Baldor

tiene que poseer un divisor primo mayor que 1, porque hay un teorema (287) que dice que todo número compuesto tiene por lo menos un divisor primo mayor que 1. Ese divisor primo de N tiene que ser menor que P, igual a P o mayor que P. Ahora bien, el divisor primo de N no puede ser menor que P, porque dividiendo a N entre cualquiera de los números primos menores que P daría de residuo la unidad; no puede ser igual a P, porque dividiendo a N entre P daría también de residuo la unidad; luego, si A/ necesita tener un divisor primo y ese divisor primo no es menor que P ni igual a P, tiene que ser mayor que P. Luego hay un número primo mayor que P, al cual se pueda aplicar el mismo razonamiento; luego la serie de los números primos es ilimitada. 289 III. TEOREMA Si un número primo no divide a otro número, necesariamente es primo con él. Sea el número primo a, que no divide al número b. Vamos a demostrar que a es primo con b, o sea, que a y.b son primos entre sí. En efecto: el número a, por ser primo, solamente es divisible entre a y entre 1. Por tanto, los únicos divisores comunes que pueden tener a y ¿ son a o 1. Ahora bien: a no puede ser divisor común de a y 6, porque suponemos que a no divide a b, luego, el único divisor común de a y ií) es 1, o sea, que a y son primos entre sí, que era lo que queríamos demostrar. El número primo 5 no divide a 14; 5 y 14 son primos entre sí. 290 IV. TEOREMA Todo número que divide a un producto de dos factores y es primo con uno de ellos, nece­ sariamente divide ai otro factor. Sea el número a que divide al producto be y es primo con b. Vamos a demostrar que a tiene que dividir al otro factor c. En efecto: como a y £>son primos entre sí, su mayor divisor común es 1. Multiplicando los números a y ¿ por c resultarán los productos ac y £>c; y el m.c.d. de estos productos será 1 X c, o sea c, porque si dos números se multiplican por un mismo número, su m.c.d. queda multiplicado por ese mismo número (314). Ahora bien: a divide al producto ac por ser un factor de este producto y al producto be por suposición; luego dividirá al m.c.d. de ac y be que es c, porque todo número que divide a otros dos, divide a su m.c.d. (313), Luego a divide a c, que era lo que queríamos demostrar.