Aritmética Baldor

5 divide al producto 7 x 10 = 70, y como es primo con 7, divide a 10. V. TEOREMA Todo número primo que divide a un producto de varios factores, divide por io menos a uno de ellos. Sea el número primo P que divide al producto abcd. Vamos a demostrar que P tiene que dividir a uno de estos factores. En efecto: el producto abcd se puede considerar descompuesto en dos factores, de este modo: a{bcd). Si P divide a a, queda demostrado elteorema y si P no divide a a será primo con él, porque hay un teorema (289) que dice que si un número primo no divide a otro número es primo con él y P tendrá que dividir al otro factor bed, porque hay un teorema (290) que dice que si un número divide al producto de dos factores y es primo con uno de ellos, tiene que dividir al otro. Luego, P divide al producto bed. Este producto se puede considerar descompuesto en dos factores, de este modo: b{cd). Si P divide al factor ¿) queda demostrado el teorema; si no lo divide es primo con él, y tendrá que dividir al otro factor cd: por las razones anteriores. Si P divide al factor c, queda demostrado el teorema; si no lo divide es primo con él y tendrá que dividir al otro factor, que es d. Luego, P divide a uno de los factores, que era lo que queríamos demostrar. 2 0 Í) El número primo 3 que divide al producto 5 x 8 x 6 = 240, tiene que dividir por lo menos a uno de los factores y, en efecto, divide a 6. VI. TEOREMA Todo número primo que divide a una potencia de un número tiene que dividir a este número. Sea el número primo P que divide a a'’. Vamos a demostrar que P divide aa. En efecto: por definición de potencia, sabemos que a" = a x a x a x a . . . n veces Ahora bien: el número prímo P divide a a'’, por suposición, luego divide a su igual a x a x a x a __ SiP divide a este producto, tiene que dividir a uno de sus factores, por- /7veces que todo número prímo que divide a un producto de varios factores tiene que dividir a uno