Aritmética Baldor

Sea el número N divisible entre los factores a , b y c , que son primos entre sí dos a dos. Vamos a probar que N es divisible entre el producto ab y entre el producto abe. En efecto: como N es divisible entre a, llamando q al cociente de dividir N entre a, ten­ dremos: N = aq (1) El factor b divide a N por hipótesis, luego divide a su igual aq, pero como es primo con a por hipótesis, dividirá a q, porque todo número que divide al producto de dos factores y es primo con uno de ellos, tiene que dividir al otro factor (290). Llamando q' al cociente de dividir entre ü, tendremos: q = bq' (2) Multiplicando miembro a miembro las igualdades (1) y (2), tendremos: Nq = aqbq' Dividiendo ambos miembros entre q, para lo cual basta suprimir ese factor en cada pro­ ducto, la igualdad no varía y tendremos: N = abq' o sea A/ = {ab)q' igualdad que demuestra la primera parte del teorema, pues ella nos dice que e! número N contiene al producto ab un número exacto de veces, q' veces, o sea, que N es divisible entre el producto ab, que era lo primero que queríamos demostrar. Ahora bien: c divide a N por hipótesis, luego dividirá a su igual aq, pero como es primo con a dividirá a q: si divide a q dividirá a su igual bq', pero como es primo con b dividirá a q’ . Llamando q " al cociente de dividir q' entre c, tendremos: q' = cq" (3) Multiplicando miembro a miembro las igualdades (1), (2) y (3), tendremos: Nqq' - aqbq'cq” Dividiendo ambos miembros de esta Igualdad entre q y entre q', para lo cual basta supri­ mir esos factores en ambos productos, la igualdad no varía y tendremos: N = abcq" o sea A/ - {abc)q" igualdad que demuestra la segunda parte del teorema, pues ella nos indica que el número N contiene al producto abe un número exacto de veces, q " veces, o sea que N es divisible entre el producto abe, que era lo que queríamos demostrar. 297 DÍVISIBILIDAD ENTRE NljMEROS COMPUESTOS De acuerdo con lo demostrado en el teorema anterior, si un número es divisible entre dos factores primos entre si, será divisible entre su producto, luego: