Aritmética Baldor

315 M. C. D. DE MÁS DE DOS NÚMEROS POR DIVISIONES SUCESIVAS La regla para resolver este caso es la contenida en el siguiente teorema. TEOREMA Para hallar el m. c. d.de más de dos números por divisiones sucesivas se llalla primero el de dos de ellos; después el de otro de los números dados y el m. c. d. hallado; después el de otro número y el segundo m. c. d., y así sucesivamente hasta el último número. Ei último m. c. d. es el m. c. d. de todos los números dados. Sean los números/l, 6, CyD. Hallemos el m. c. d, de y fí y sea éste d; hallemos el de tí y C y sea éste d'; hallemos el de tí' y D y sea éste d". Vamos a demostrar que tí" es el m. c, d. de /í, B, C y D . ------------------------------------------------- d'. En efecto: el m. c. d. 6eA,B. C y D divide a todos estos números, luego si divide a y a B dividirá a su m. c. d., que es tí, porque todo divisor de dos números divide a su m. c. d. (313); si divide a tí, como también divide a C, por ser uno de los números dados dividirá al m. c. d. de tíy C, que es tí', y si divide a tí', como también divide a D, dividirá al m. c, d. de d'yD , que es tí"; luego tí" no puede ser menor que el m. c. d, de/4, B,CyD, porque si fuera menor, éste no podría dividirlo. Por otra parte, tí" divide a D y a tí' por ser su m. c. d.; si divide a tí', dividirá a C y a tí, que son múltiplos de d’, y s i divide a tí, dividirá a>4y a B, que son múltiplos de tí, luego tí" es divisor común de A,B, Cy D; pero no puede ser mayor que el m. c. d. de estos números porque éste, como su nombre lo indica, es el mayor divisor común de estos números. Ahora bien; si tí" no es menor ni mayor que el m. c. d. de/l, B,CyD, será igual a dicho m, c. d. Luego, tí" es el m. c. d. de A, B, Cy D. Hallar el m. c. d. de 4,940; 4,420, 2,418 y 1,092 por divisiones sucesivas. Conviene empezar por los dos números menores ya que se termina más rápidamente. 2 1 4 2 Hallemos el m. c. d. de 2,418y 1 ,0 9 2 : ------ ► 78 156 234 1.092 2,418 0 78 1 156 1 234 56 Ahora hallamos el m. c. d. de 4.420 v 7 8 : -------- — ► 26 52 78 4,420 0 26 520 52